В треугольнике АВС известны стороны АВ=7 см, ВС=10 см и АС=12. Биссектрисы AD и BE пересекаются в точке N. a) Докажите что BD:AE=85:114. б) Найдите отношение площадей треугольника ABN и ABC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Для начала найдем длины отрезков BD и AE. Обозначим угол ABC как угол C, угол BAC как угол A, а угол ACB как угол B.

Так как у нас даны стороны треугольника ABC, можем использовать формулу косинусов, чтобы найти углы треугольника:
cos(A) = (AC^2 + AB^2 - BC^2) / 2ACAB
cos(A) = (12^2 + 7^2 - 10^2) / (2127)
cos(A) = 35 / 168
A = 66.42 градусов

cos(B) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / 2ABBC
cos(B) = (7^2 + 10^2 - 12^2) / (2710)
cos(B) = 11 / 70
B = 83.91 градусов

Теперь найдем отношение BD:AE.
В треугольнике ABD:
sin(B) = BD / AB
BD = AB sin(B)
BD = 7 sin(83.91)
BD ≈ 6.66 см

В треугольнике ACE:
sin(A) = AE / AC
AE = AC sin(A)
AE = 12 sin(66.42)
AE ≈ 10.54 см

Теперь можем найти отношение BD:AE:
BD:AE = 6.66:10.54 = 333:527 = 85:114

б) Найдем отношение площадей треугольников ABN и ABC.
Площадь треугольника ABC можно найти по формуле Герона:
s = (AB + BC + AC) / 2
s = (7 + 10 + 12) / 2 = 14.5
S(ABC) = sqrt(s(s-AB)(s-BC)*(s-AC))
S(ABC) ≈ 34.33 см^2

Теперь найдем площадь треугольника ABN.
Заметим, что треугольник ABN подобен треугольнику ABC, так как углы при вершине A равны.
Из подобия треугольников следует, что площади этих треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон:
S(ABN):S(ABC) = (ABN) / (ABC)^2

Найдем отношение площадей:
S(ABN):S(ABC) = (ABN) / (ABC)^2 = (ABN) / 34.33^2

Обозначим высоту треугольника ABN, опущенную из вершины A, как h.
Тогда h = AB sin(C) = 7 sin(83.91) ≈ 6.68 см

S(ABN) = (1/2) AB h
S(ABN) = (1/2) 7 6.68
S(ABN) ≈ 23.38 см^2

Теперь можем найти отношение площадей:
S(ABN):S(ABC) = 23.38 / 34.33^2 ≈ 23.38 / 1180.42 ≈ 1:50.48