В треугольнике АВС известны стороны АВ = 7, ВС = 10 и АС = 12. Биссектрисы AD и ВЕ пересекаются в точке N. а) Докажите, что ВD : АЕ = 85 : 114. б) Найдите отношение площадей треугольников АВN и АВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) По теореме угловой биссектрисы в треугольнике, мы можем найти длины отрезков BD и AE. Обозначим BD = x, AE = y. Тогда, по формуле для биссектрисы имеем:
x = (AB BC) / (AB + AC) = (7 10) / (7 + 12) = 70 / 19
y = (AC BC) / (AB + AC) = (12 10) / (7 + 12) = 120 / 19
Отсюда получаем:
BD : AE = x : y = 70 / 19 : 120 / 19 = 85 : 114

б) Площади треугольников связаны следующим образом:
S(ABN) / S(ABC) = AN BN / AC BC
Найдем длины AN и BN. Пусть AN = p, BN = q. Тогда можем найти их через биссектрисы:
p = (AC AB) / (AB + BC) = (12 7) / (7 + 10) = 84 / 17
q = (AB AC) / (AB + BC) = 70 / 17
Итак, отношение площадей будет:
S(ABN) / S(ABC) = p q / AC BC = (84 / 17) (70 / 17) / (12 * 10) = 84 / 170 = 42 / 85