Однородные многочлены. Вопросец такой простой совсем, но только немножко про тензоры. Пусть у нас есть какая-то трилинейная форма f, действующая из тензорного произведения трех копий R^2 в R.
Т.е. для всяких трех векторов a, b, c из R^2 у нас f(a, b, c) линейна по каждому из аргументов и ее значение - число.
Теперь берем ее сужение - кубическую форму от трех одинаковых векторов.
С(a) = f(a, a, a)
И это какой-то однородный многочлен третьей степени от координат вектора a, пусть a = (x, y).
Можно ли как-то восстановить трилинейную форму по коэффициентам этого многочлена, если известно, что трилинейная форма симметрична - т.е. не изменяется при перестановке аргументов?
Т.е. какой-то аналог поляризационного тождества нужен для тензоров более высокого ранга, либо объяснить, почему аналога нет. Для второго ранга у нас симметричная билинейная форма B восстанавливается по квадратичной Q однозначным образом как
B(a ,b) = 1/2 * ((Q(a+b) - Q(a) - Q(b)).
Однородные многочлены. Вопросец такой простой совсем, но только немножко про тензоры. Пусть у нас есть какая-то трилинейная форма f, действующая из тензорного произведения трех копий R^2 в R.
Т.е. для всяких трех векторов a, b, c из R^2 у нас f(a, b, c) линейна по каждому из аргументов и ее значение - число.
Теперь берем ее сужение - кубическую форму от трех одинаковых векторов.
С(a) = f(a, a, a)
И это какой-то однородный многочлен третьей степени от координат вектора a, пусть a = (x, y).
Можно ли как-то восстановить трилинейную форму по коэффициентам этого многочлена, если известно, что трилинейная форма симметрична - т.е. не изменяется при перестановке аргументов?
Т.е. какой-то аналог поляризационного тождества нужен для тензоров более высокого ранга, либо объяснить, почему аналога нет. Для второго ранга у нас симметричная билинейная форма B восстанавливается по квадратичной Q однозначным образом как
B(a ,b) = 1/2 * ((Q(a+b) - Q(a) - Q(b)).
Т.е. для всяких трех векторов a, b, c из R^2 у нас f(a, b, c) линейна по каждому из аргументов и ее значение - число.
Теперь берем ее сужение - кубическую форму от трех одинаковых векторов.
С(a) = f(a, a, a)
И это какой-то однородный многочлен третьей степени от координат вектора a, пусть a = (x, y).
Можно ли как-то восстановить трилинейную форму по коэффициентам этого многочлена, если известно, что трилинейная форма симметрична - т.е. не изменяется при перестановке аргументов?
Т.е. какой-то аналог поляризационного тождества нужен для тензоров более высокого ранга, либо объяснить, почему аналога нет. Для второго ранга у нас симметричная билинейная форма B восстанавливается по квадратичной Q однозначным образом как
B(a ,b) = 1/2 * ((Q(a+b) - Q(a) - Q(b)).
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Подробнее
Для случая тензоров более высокого ранга аналога поляризационного тождества, как для билинейных форм, нет. Это связано с тем, что для симметричных многочленов от множества переменных нет единственного способа их представления через коэффициенты.
Для трилинейной формы f(a, b, c) с симметрией можно записать ее сужение на один вектор a как однородный многочлен третьей степени С(a) = f(a, a, a). Однако, по данному многочлену однозначно восстановить саму трилинейную форму невозможно, так как существует бесконечное количество трилинейных форм, которые могут давать одинаковое значение многочлена на одинаковых векторах.
Таким образом, для восстановления самой трилинейной формы необходимо иметь дополнительную информацию о ее структуре или другие выражения для нее.