В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, BC и AC в точках P, F и E соответственно. Найдите отношение FC к FB, если AP относится к PB как 3:2 и ∠BAC=60°. Ответ запишите в виде десятичной дроби

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус окружности как r. Так как отрезки AP, PB и BC являются касательными к окружности, то они равны по длине, так как касательные, проведенные к данной окружности из одной точки, равны. Пусть AP=PB=x. Следовательно, x:2x=r:FB=1:2, значит FB=2r.
Также заметим, что треугольник ABC равносторонний, так как угол в центре равен углу в половине центрального угла, т.е. угол в центре равен углу АФВ, который равен 180° - ∠BAC=120°. Следовательно, угол BAC=60°=углу CBA=ABC.
Обозначим углы BAF и ABF как α. Аналогично обозначим углы BCE и CBE как β.
Так как угол ABC=60°, то β=30°.
Рассмотрим треугольник ABF. Углы ABF и AFB равны из-за свойства равностороннего треугольника ABC.
Следовательно, угол FAB=180°-2α и углы BAF и AFB равны.
Так как треугольник AFB равнобедренный, потому что углы BAF и ABF равны, то 180°-2α+α+α=180°, откуда получаем, что α=30°. Следовательно, угол FAB=120°.
Теперь обратимся к треугольнику CBE. Так как угол ABC=60°, то угол CBE=(180-60)/2=60/2=30°.
Обозначим отрезок FC как y. Из равенства треугольников CFB и CEB получаем, что y:2*r=FC:CB. Следовательно, y=r.
Таким образом, FC=FB. Ответ: 1.