Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а угол между апофемой и плоскость основания равен 60 градусов. Найдите площадь полной поверхности и объём.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь полной поверхности пирамиды можно найти, сложив площадь основания, площадь боковой поверхности и площадь основания. Учитывая, что пирамида правильная, ее боковые грани равнобедренные треугольники.

Найдем площадь основания. Поскольку пирамида правильная и имеет треугольное основание, её площадь равна S_base = (a^2 √3) / 4, где а - сторона основания. Поскольку это правильная пирамида, сторона основания равна а = 2 apothem = 2 * (6 / √3) = 4√3.

Тогда S_base = (4√3)^2 * √3 / 4 = 48 см^2.

Найдем площадь каждой из боковых граней. Поскольку угол между апофемой и плоскостью основания 60 градусов, боковые грани пирамиды равнобедренные. Пусть апофема равна h1, а каждое боковое ребро равно h2. Тогда:
h2 = h1 cos 60 = 6 cos 60 = 3 см.

Теперь найдем площадь боковой грани: S_side = (1/2 a h2 = 1/2 4√3 3 = 6√3 см^2.

Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды:
S_total = S_base + 4 S_side = 48 + 4 6√3 = 48 + 24√3 см^2.

Найдем объем пирамиды: V = (1/3) S_base h = (1/3) 48 6 = 96 см^3.

Итак, площадь полной поверхности пирамиды равна 48 + 24√3 см^2, а объем равен 96 см^3.