Задача про пожар на складе огнетушителей Существует ли подмножество Q множества целых неотрицательных чисел (N_0) такое, что каждое число из N_0 можно единственным образом представить в виде a+2b, где a,b из Q ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, такое подмножество Q существует. Рассмотрим все числа из множества N_0, которые можно представить в виде a+2b, где a и b из Q.

Если a и b из Q, то a+2b также принадлежит Q. Таким образом, Q является замкнутым относительно операции сложения.

Теперь покажем, что каждое число из N_0 можно единственным образом представить в виде a+2b, где a и b из Q. Пусть n из N_0 - произвольное число. Тогда можно записать n = a + 2b, где a и b из Q.

Теперь докажем, что это представление единственно. Предположим, что можно найти другие целые числа a' и b', такие что n = a' + 2b'. Тогда a - a' = 2(b' - b). Поскольку левая часть является целым числом, то и правая часть должна быть целым числом. Но тогда 2 должно делить разность a - a', что противоречит тому, что a и a' из Q. Следовательно, представление числа n в виде a+2b, где a и b из Q, единственно.

Таким образом, подмножество Q множества целых неотрицательных чисел N_0, удовлетворяющее условию задачи, существует.