Нетривиальная задачка по геометрии (9 кл) В трапеции ABCD с основаниями CD и AB точка M принадлежит меньшему основанию CD и делит его в отношении 1:2, считая от вершины C. Точка N принадлежит большему основанию AB и делит его в отношении 1:3, считая от вершины A. Точка P является серединой основания AB. Найдите площадь пятиугольника NEMFP, где Е - точка пересечения отрезков AM и CN, F- точка пересечения отрезков MB и PD, если площадь трапеции равна 56.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим отрезки AM, MC, CN, NB, BP, PD как a, b, c, d, e, f соответственно. Тогда получаем систему уравнений:

a + c = 2b (1)

d + f = 3e (2)

a + d = e + f (3)

a + b + c + d + e + f = 56 (4)

Так как P - середина отрезка AB, то BP = AP = e, DP = 2e.

Также, так как M и N делят отрезки CD и AB в соответствующих отношениях, то
MC/MD = a / 2b и NA/NB = 1 / 3, откуда следует, что

a/2b = 1/3 => a = 2b/3

c/(c + d) = 2/3 => c = 2d

Теперь подставим полученные выражения для a, c и d в уравнения (1), (2), (3) и (4), и найдем значения переменных:
a = 8, b = 6, c = 4, d = 2, e = 6, f = 4

Теперь можем рассчитать площадь пятиугольника NEMFP. Он разбивается на два треугольника AMP и CNP и прямоугольник MBPE.

S(AMP) = (1/2) 8 6 = 24

S(CNP) = (1/2) 4 6 = 12

S(MBPE) = 6 * 6 = 36

Итак, S(NEMFP) = 24 + 12 + 36 = 72.

Ответ: площадь пятиугольника NEMFP равна 72.