Математика, задача, олимпиада найдите наибольшее 18-значное число, в котором при перемещении первой цифры в конец числа, получается утроенное данное число

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи необходимо представить искомое число в виде (ABCDEF...XYZ), где каждая буква обозначает отдельную цифру (от 0 до 9).

Таким образом, условие задачи можно записать следующим образом: (10^{17}A+10^{16}B+10^{15}C+...+10^2Y+10X+Z = 3(10^{17}B+10^{16}C+10^{15}D+...+10^2Z+10*A)).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(10^{17}A+10^{16}B+10^{15}C+...+10^3Y+10^2X+10Z = 3(10^{17}B+10^{16}C+10^{15}D+...+10^3Z+10^2A+10*X)).

Слагаемые с одинаковыми степенями 10 должны быть равны, поэтому можно записать соответствующие равенства:

1) (A = 3*Z)

2) (B = 3A или B = 3Z)

3) (C = 3B или С = 3A)

...

18) (Z = 3Y или Z = 3X)

Из этих уравнений видно, что цифры задают цикличиское перестановку 3->C->B->A->Z->Y->X. Зная это, мы можем представить максимальное 18-значное число, удовлетворяющее условиям задачи:

(3\underbrace{333...33}{16}333\underbrace{3}{17}).

Таким образом, наибольшее 18-значное число, удовлетворяющее условиям задачи, равно (333333333333333333).