Леонард переехал в новый дом и заметил, что в каждой комнате не менее трёх ламп. При этом каждый выключкатель меняет состояние ровно двух ламп, и каждая лампа подключена ровно к одному выключателю. Докажите что независимо от начального состояния ламп Леонард сможет так нажать на выключатели, чтбоы в каждой комнате были как включённые, так и выключенные лампы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения рассмотрим общее количество ламп в доме, обозначим его за N. Так как в каждой комнате не менее трех ламп, то общее количество комнат будет равно N/3.

Каждый выключатель меняет состояние ровно двух ламп, следовательно, для каждой комнаты существует два выключателя. Таким образом, общее количество выключателей равно 2*(N/3) = 2N/3.

Так как каждая лампа подключена ровно к одному выключателю, то общее количество выключателей должно быть равно общему количеству ламп, то есть 2N/3 = N. Отсюда следует, что N = 3.

Таким образом, мы доказали, что в доме у Леонарда всего 3 лампы. При любом начальном состоянии Леонард может нажать на выключатели так, чтобы в каждой комнате были как включенные, так и выключенные лампы. Для этого ему достаточно просто переключить состояние каждой лампы два раза.