Олимпиада по алгебре 2022 г. В выпуклом n‑угольнике выделили диагональ. Выделенную диагональ пересекают ровно 14 других диагоналей этого n‑угольника. Найдите сумму всех возможных значений n. Вершина n‑угольника не считается пересечением.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть n - количество вершин в выпуклом n-угольнике. Тогда количество диагоналей в n-угольнике равно C(n, 2) - n = n(n-3)/2 (из каждой вершины можно провести n-3 диагонали, но каждая диагональ дважды учитывается, поэтому вычитаем n).

Так как выделили одну диагональ, то из n(n-3)/2 + 1 диагонали пересекаются 14 других диагоналей. Таким образом, уравнение будет выглядеть следующим образом:

n(n-3)/2 + 1 = 1
n^2 - 3n + 2 = 2
n^2 - 3n - 26 =
(n - 7)(n + 4) = 0

Итак, получаем два возможных значения n: n1 = 7 и n2 = -4. Однако, по определению n - количество вершин, а количество вершин не может быть отрицательным, поэтому n = 7.

Ответ: сумма всех возможных значений n равна 7.