Тест по математике Номер 1. Найдите количество четырёхзначных чисел, у которых цифра в разряде сотен ровно на 3 больше цифры в разряде единиц. Число не может начинаться с нуля.
Номер 2. Диагонали AC и BD равнобокой трапеции ABCD пересекаются в точке O. Известно, что AD:BC=3:2. Окружность ω с центром O, проходящая через вершины A и D, пересекает продолжение основания BC за точку B в точке K. Оказалось, что BK=BO. Найдите отношение основания AD к радиусу окружности ω.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть цифра в разряде единиц равна а, тогда цифра в разряде сотен равна а+3. Так как число четырёхзначное, а также не может начинаться с нуля, то а может принимать значения от 1 до 9. Таким образом, количество четырёхзначных чисел, удовлетворяющих условию, равно 9.
Ответ: 9

Поскольку AD:BC=3:2, то пусть AD=3a, BC=2a. Обозначим AK=x, тогда KD=3a-x. По теореме Пифагора в треугольнике AOK:
x^2 + r^2 = 9a^2
где r - радиус окружности ω. Также, по теореме Пифагора в треугольнике BOK:
(2a-x)^2 + r^2 = 4a^2
Решив систему уравнений, найдем, что a=3 и r=3.
Ответ: AD:р=3:3=1:1