Олимпиада по математике
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 10 жителей острова собрались вместе, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 10 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из фраз:

«Среди собравшихся нет рыцаря, номер футболки которого больше моего»;
«Среди собравшихся нет лжеца, номер футболки которого меньше моего».
Известно, что каждая из этих фраз прозвучала ровно 5 раз. Сколько рыцарей могло быть среди этих 10 жителей? Укажите все возможные варианты.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала заметим, что обе фразы должны быть верными, так как каждая из них прозвучала 5 раз.

Пусть рыцарь с номером x сказал первую фразу. Тогда в группе должно быть хотя бы x лжецов с номерами меньше его. Но также должно быть хотя бы 10 - x номеров больше x, так как каждый рыцарь с номером больше x сказал первую фразу. Получаем, что x <= 5.

Пусть лжец с номером y сказал вторую фразу. Тогда в группе должно быть хотя бы 10 - y рыцарей с номерами больше его. Но также должно быть хотя бы y номеров меньше y, так как каждый лжец с номером меньше y сказал вторую фразу. Получаем, что y >= 6.

Таким образом, рыцари могут иметь номера 1, 2, 3, 4, 5. Значит, среди 10 жителей могут быть от 0 до 5 рыцарей.