Олимпиада по математике На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 70 жителей острова собрались вместе, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 70 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из двух фраз:

«Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки больше моего»;
«Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки меньше моего».
Какое наименьшее количество рыцарей могло быть среди этих 70 жителей?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Наименьшее количество рыцарей среди этих 70 жителей - 35.

Предположим, что все 70 жителей говорят правду. Тогда каждый из них должен правильно утверждать, что среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки меньше его или больше его. Но это невозможно, так как всего 70 человек, а номера футболок от 1 до 70.

Следовательно, хотя бы один из жителей лжет. Пусть этот лжец имеет номер футболки 35. Посмотрим на две возможные ситуации:

1) Если рыцарь с номером 35 говорит правду, то это означает, что хотя бы у 5 лжецов номер футболки больше 35. Тогда среди 35 жителей с номерами от 36 до 70 должно быть хотя бы 5 лжецов. Таким образом, минимальное количество рыцарей среди 70 жителей - 35.

2) Если рыцарь с номером 35 лжет, то это означает, что у него нет 5 лжецов с номерами меньше его. Тогда среди 34 жителей с номерами от 1 до 34 должно быть хотя бы 5 лжецов. В этом случае также минимальное количество рыцарей среди 70 жителей - 35.

Итак, наименьшее количество рыцарей среди 70 жителей - 35.