Олимпиада по математике На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 90 жителей острова собрались вместе, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 90 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из двух фраз:

«Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки больше моего»;
«Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки меньше моего».
Какое наименьшее количество рыцарей могло быть среди этих 90 жителей?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что среди 90 жителей острова только два из них - рыцари, а остальные 88 - лжецы. Посмотрим на высказывание каждого из них:

1) Если первый рыцарь сказал фразу "Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки больше моего", то у него номер футболки от 88 до 90 (так как остальные 88 лжецов все имеют номера меньше его), и он сказал правду.

2) Если второй рыцарь сказал фразу "Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки меньше моего", то у него номер футболки от 1 до 3 (так как остальные 88 лжецов все имеют номера больше его), и он тоже сказал правду.

Итак, мы получили, что при нашем предположении только два рыцаря смогли сказать правду. Это противоречит условию задачи, поэтому наше предположение о 88 лжецах неверно.

Следовательно, среди 90 жителей острова должно быть не менее 3 рыцарей, чтобы один из них сказал правду, и наименьшее количество рыцарей равно 3.