Решите задачу. Напишите подробное решение ответ. В ромбе АВСD на продолжении диагонали АС отмечены точки Т и К так, что отрезки АТ и СК равны и точки Т и К находятся вне ромба.
Докажите, что ВКDТ параллелограмм. Докажите, что треугольники АDТ и ВСК равны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем, что ВКDТ - параллелограмм.

Рассмотрим треугольники ВТК и ДКТ. Поскольку отрезки АТ и СК равны, то треугольники ВТК и ДКТ являются равнобедренными (ТК = ТВ и ТК = ТD). Также у этих треугольников углы между равными сторонами равны, так как диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Значит, углы ВТК и ДКТ равны. Следовательно, треугольники ВТК и ДКТ равны по двум сторонам и углу между ними, что означает, что отрезок ВК равен отрезку ДТ.

Теперь посмотрим на треугольники ВКД и КТД. Мы уже доказали, что отрезки ВК и ДТ равны. Кроме того, у этих треугольников углы ВКД и ДТК взаимно дополняют друг друга, так как дополнения углов при пересечении параллельных прямых равны. Значит, треугольники ВКД и КТД равны по двум сторонам и углу между ними, что означает, что отрезок ВД равен отрезку КТ.

Таким образом, отрезки ВК и ДТ равны, а отрезки ВД и КТ равны. Это означает, что ВКДТ - параллелограмм.

Теперь докажем, что треугольники АDТ и ВСК равны.

Поскольку ВКДТ - параллелограмм, то углы ВКД и ВТК равны. Но угол ВКД равен углу АДТ, так как противоположные углы параллелограмма равны. Таким образом, углы ВТК и АДТ равны.

Аналогично, угол КСВ равен углу КВС и углу АВС равен углу ВКТ. Таким образом, у треугольников АДТ и ВСК совпадают два угла. Отрезок АТ равен отрезку КС (по условию задачи), а отрезок ВТ равен отрезку ВК (так как ВКТ равнобедренный треугольник). Значит, треугольники АДТ и ВСК равны по двум сторонам и углу между ними.

Таким образом, треугольники АДТ и ВСК равны.