Функцию z=f(x,у) исследовать на экстремум z=x^3-6х-7у^2+у+1,25

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции на экстремум найдем частные производные по переменным x и y:

∂f/∂x = 3x^2 - 6,
∂f/∂y = -14y + 1.

Далее найдем точки, где частные производные равны нулю:

3x^2 - 6 = 0,
-14y + 1 = 0.

Из первого уравнения находим x:

3x^2 = 6,
x^2 = 2,
x = ±√2.

Из второго уравнения находим y:

-14y = -1,
y = 1/14.

Итак, найдены две точки экстремума: (√2, 1/14) и (-√2, 1/14).

Для дальнейшего исследования на экстремум рассчитаем вторые частные производные:

∂²f/∂x² = 6x,
∂²f/∂y² = -14,
∂²f/∂x∂y = 0.

Подставим найденные значения переменных во вторые частные производные:

∂²f/∂x²(√2, 1/14) = 6 √2 > 0,
∂²f/∂x²(-√2, 1/14) = 6 -√2 < 0,
∂²f/∂y²(√2, 1/14) = -14 < 0,
∂²f/∂y²(-√2, 1/14) = -14 < 0.

Таким образом, при x = √2, y = 1/14 функция имеет локальный минимум, а при x = -√2, y = 1/14 функция имеет локальный максимум.