О геометрическом месте точек Заданы на плоскости произвольные точки А и В, АВ= с. Докажите, что геометрическое место точек М, удовлетворяющих условию МА^2-МВ^2= р, представляет собой прямую, параллельную серединному перпендикуляру отрезка АВ, и отстаёт от этого перпендикуляра на расстояние р/(2с) в полуплоскости с точкой В.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть O - середина отрезка AB, построим серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Так как МА^2 - МВ^2 = р, то МА^2 = МВ^2 + р.

Заметим, что данное выражение можно переписать следующим образом: MO^2 - BO^2 = р.

Таким образом, точка М лежит на одной из двух прямых, параллельной перпендикуляру в полуплоскости, где расстояние от М до перпендикуляра равно √р.

Осталось показать, что М не может находиться на прямой, проходящей через точку O и перпендикулярной AB.

Предположим обратное, что М лежит на данной прямой. Тогда, так как MO = √р, то BO = √р. Но это противоречит тому, что BO = с/2, так как AB = с. Следовательно, точка М лежит на прямой, параллельной серединному перпендикуляру отрезка AB и отстающей от него на расстояние √р, что и требовалось доказать.