Задача по теории вероятностей Точка (p;q) наудачу выбирается из прямоугольника с вершинами в точках A(-3, 6); B(1, 6); C(1, -2); и D(-3, -2). Найдите вероятность того, что корни уравнения x^2+px+q=0
а) действительные;
б) мнимые;
в) положительные;
г) разных знаков;
д) одного знака;

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для того чтобы корни уравнения x^2 + px + q = 0 были действительными, дискриминант должен быть больше или равен нулю: D = p^2 - 4q >= 0. Это означает, что область возможных значений (p;q) должна лежать внутри прямоугольника ABCD. Площадь прямоугольника ABCD равна S = 4*8 = 32.

Для действительных корней D >= 0
1) p^2 - 4q >= 0
2) q <= p^2 / 4.

Теперь нужно найти площадь фигуры, образованной точками (p;q), удовлетворяющим условию q <= p^2 / 4. Это фигура в форме параболы, ограниченная прямыми q = 6 и q = -2, и вершиной в точке (0;0). Площадь этой фигуры равна S1 = 8.

Таким образом, вероятность того, что корни уравнения x^2 + px + q = 0 будут действительными, равна P(действительные) = S1 / S = 8 / 32 = 0.25.

б) Для того чтобы корни уравнения x^2 + px + q = 0 были мнимыми, дискриминант должен быть меньше нуля: D = p^2 - 4q < 0. Это означает, что область значений (p;q) должна быть вне параболы q = p^2 / 4.

По аналогии с предыдущим пунктом, площадь фигуры, соответствующей мнимым корням, равна S2 = S - S1 = 32 - 8 = 24.

Вероятность того, что корни уравнения x^2 + px + q = 0 будут мнимыми, равна P(мнимые) = S2 / S = 24 / 32 = 0.75.

в) Для того чтобы корни уравнения x^2 + px + q = 0 были положительными, необходимо, чтобы p был отрицательным.

Область значений p,q при которых корни будут положительными - прямоугольник АВСD. Считаем площадь этой области: S3 = 4*4 = 16.

Вероятность того, что корни уравнения x^2 + px + q = 0 будут положительными, равна P(положительные) = S3 / S = 16 / 32 = 0.5.

г) Для того чтобы корни уравнения x^2 + px + q = 0 имели разные знаки, необходимо, чтобы p был положительным.

Область значений p,q при которых корни будут иметь разные знаки - прямоугольник АВCD. Считаем площадь этой области: S4 = 4*8 = 32.

Вероятность того, что корни уравнения x^2 + px + q = 0 будут иметь разные знаки, равна P(разных знаков) = S4 / S = 32 / 32 = 1.

д) Для того чтобы корни уравнения x^2 + px + q = 0 имели одинаковый знак, необходимо, чтобы p <= 0 и q >= 0.

Область значений p,q при которых корни будут иметь одинаковый знак - прямоугольник BCDA, площадь которого равна S5 = 4*4 = 16.

Вероятность того, что корни уравнения x^2 + px + q = 0 будут иметь одинаковый знак, равна P(одного знака) = S5 / S = 16 / 32 = 0.5.