Олимпиада по геометрии Дан треугольник ABC со сторонами AB = 18; BC = 15. На биссектрисе угла B отложили точку D так, что BD = AC. Известно, что площадь треугольника BCD равна 10. Найти площадь четырехугольника ABCD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через x длину стороны AC. Тогда из условия BD = AC получаем, что BD = x.

Так как BD является биссектрисой угла B, то AD = CD = x.

По формуле полупериметра треугольника площадь треугольника BCD равна:

S_BCD = sqrt(p(p - BC)(p - BD)(p - CD))

где p - полупериметр треугольника BCD, т.е.

p = (BC + BD + CD) / 2
p = (15 + x + x) / 2
p = (15 + 2x) / 2
p = 7.5 + x

Подставляем значение полупериметра в формулу площади:

10 = sqrt((7.5 + x)(7.5 + x - 15)(7.5 + x - x)(7.5 + x - x))
10 = sqrt((7.5 + x)(-7.5 + x)(7.5 + x)(7.5))
10 = 7.5√((7.5 + x)(7.5 - x))

Решая это уравнение, получаем два возможных значения для x: x = 6 или x = 4.

Если x = 6, то площадь четырехугольника ABCD равна:

S_ABCD = S_ABC + S_BCD
S_ABCD = S_ABC + 10
S_ABCD = 1/2 18 15 + 10
S_ABCD = 135 + 10
S_ABCD = 145

Если x = 4, то площадь четырехугольника ABCD равна:

S_ABCD = S_ABC + S_BCD
S_ABCD = S_ABC + 10
S_ABCD = 1/2 18 15 + 10
S_ABCD = 135 + 10
S_ABCD = 145

Итак, площадь четырехугольника ABCD равна 145.