Олимпиадная задача по математике Докажите, что уравнение 105^x+211^y=106^z (x,y,z - натуральные числа) имеет только одно решение x=2, y=1, z=2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что 105=357, 211 - простое число, а 106=2*53.
Посмотрев на это разложение, можно предположить, что одно из чисел в левой части уравнения должно делиться на 7, а другое - на 2.

Пусть x=2k и z=2m, тогда уравнение примет вид:
(35)^(2k) + 211^y = (253)^(2m) =>
(3^(2k)5^(2k)) + 211^y = (2^(2m)53^(2m)) =>
(15^k9^k) + 211^y = (4^m2809^m)

Так как 211 и 2809 - не имеют общих делителей, то 211^y = 2809^m и y=2m. Подставляем y=2m в уравнение:
15^k9^k + 211^(2m) = 4^m2809^m =>
(159)^k + (211^m)^2 = (2^m53)^2 =>
135^k + 211^m = 106^m

Теперь можем заметить, что одно из чисел в левой части должно делиться на 211, а другое - на 2. Это возможно только при k=1 и m=1:
135 + 211 = 106

Следовательно, единственным решением будет x=2, y=1, z=2.