Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+1 и y=x+3С рисунком.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади фигуры, ограниченной этими двумя графиками, необходимо найти точки их пересечения.

Поставим уравнения этих двух функций равными друг другу и найдем x:

x^2 + 1 = x + 3
x^2 - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 2 и x = -1.

Теперь найдем соответствующие значения y для каждой точки, подставив найденные x обратно в уравнения исходных функций:

Для x=2:
y = 2^2 + 1 = 5 (для y=x^2+1)
y = 2 + 3 = 5 (для y=x+3)

Для x=-1:
y = (-1)^2 + 1 = 2 (для y=x^2+1)
y = -1 + 3 = 2 (для y=x+3)

Теперь можем построить график и найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми:

Площадь = ∫[a,b] (f(x) - g(x))dx, где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция, a и b - точки пересечения функций.

По графику видно, что функция y=x^2+1 находится выше функции y=x+3 на отрезке [-1,2].

Вычисляем интеграл:
∫[-1, 2] ((x^2 + 1) - (x + 3))dx = ∫[-1, 2] (x^2 - x - 2)dx

Подсчитываем интеграл:
∫[-1, 2] (x^2 - x - 2)dx = [(1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 2x] [-1, 2]
= [(1/3)2^3 - (1/2)2^2 - 22] - [(1/3)(-1)^3 - (1/2)(-1)^2 - 2(-1)]
= (8/3 - 2 - 4) - (-1/3 - 1/2 + 2)
= (8/3 - 6) - (-1/6 + 2)
= 2/3 - 1/6
= 1/2

Итак, площадь фигуры, ограниченной функциями y=x^2+1 и y=x+3, равна 1/2.