Задача по геометрии в нижнем основании цилиндра проведена хорда длинной a, которая стягивает дугу a. Отрезок, соединяющий середину хорды с центром верхнего основания, образует с высотой угол β. Найти объем цилиндра

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус основания цилиндра как R, а высоту цилиндра как h.

По условию задачи, длина хорды a равна длине дуги a, что означает, что дуга, заключенная между хордой и радиусом, равна a. Так как хорда проходит через центр основания, то угол, заключенный между хордой и радиусом, равен 2β.

Теперь построим треугольник, составленный из радиуса R, половины длины хорды (a/2) и отрезка, соединяющего середину хорды с центром верхнего основания. По теореме косинусов для этого треугольника:

R^2 = (a/2)^2 + (h/2)^2 - 2(a/2)(h/2)*cos(2β)

Теперь найдем высоту h, используя тригонометрические свойства угла β:

tg(β) = (a/2) / (h/2)
h = a / (2*tg(β))

Подставляем найденное значение h в уравнение для R и решаем его относительно R:

R^2 = (a/2)^2 + (a^2 / 4tg(β)^2) - (ah / 2tg(β))
R = sqrt((a^2 / 4) + (a^2/4) / tg(β)^2 - (a^2 / (4tg(β))))

Теперь можем найти объем цилиндра:

V = πR^2h
V = π(sqrt((a^2 / 4) + (a^2/4) / tg(β)^2 - (a^2 / (4tg(β))))^2)(a / (2tg(β)))

Это и будет ответом.