Задача по математике В круг по часовой стрелке записаны 100 ненулевых чисел. Они могут быть отрицательные и положительные. Каждое число больше произведения двух последующих. Какое наибольшее количество положительных чисел могло быть в этих 100 числах.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что в круге записано k положительных чисел. Тогда сумма произведений двух последующих чисел равна k. Поскольку каждое из чисел больше этой суммы, каждое из них больше k/2. Таким образом, все числа в круге больше k/2.
Для того чтобы количество положительных чисел было максимальным, остальные числа должны быть отрицательными. Пусть сумма отрицательных чисел равна m. Тогда сумма всех чисел в круге равна m + k.
Сумма произведений двух последующих чисел равна k, значит, сумма всех чисел в круге, выраженная через k и m, равна 0.
Таким образом, m + k = 0, откуда k = -m. Максимальное возможное значение k - 50, а значит, в круге могло быть не больше 50 положительных чисел.