Олимпиада по математике за 9 кл
По кругу вписаны 300 целых ненулевых чисел таких, что каждое число больше произведения трех следующих за ним по яасовой стрелке чисел. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди этих 300 выписанных чисел

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

?

Итак, пусть у нас есть числа a1, a2, ..., a300, где каждое число больше произведения трех следующих за ним чисел. Это означает, что ai > a(i+1) a(i+2) a(i+3) для всех i = 1, 2, ..., 297.

Теперь давайте сделаем следующее наблюдение: если мы умножим все уравнения ai > a(i+1) a(i+2) a(i+3) для i = 1, 2, ..., 297, то получим следующее неравенство:

a1 a2 a3 a4 ... a300 > a2 a3 a4 a5 ... a300 * a1

Обратите внимание, что правая часть неравенства содержит все числа из исходного неравенства, кроме a1. Таким образом, чтобы максимизировать количество положительных чисел среди 300, мы можем сделать a1 максимальным числом.

Поскольку все числа являются целыми и ненулевыми, то чтобы максимизировать a1, нужно выбрать как можно более большие положительные числа. Таким образом, мы можем сделать a1 = 300, a2 = 299, a3 = 298, a4 = 297, a5 = 296 и так далее до a299 = 2, a300 = 1.

Таким образом, наибольшее количество положительных чисел среди 300 будет равно 299 (все числа, кроме a300).