Положительное число а - коэффициент при х^2 квадратного трехчлена f(x), не имеющего корней Положительное число
a -
коэффициент при х^2
квадратного
трехчлена f(х), не имеющего корней. Докажите, что при любом х выполняется неравенство f(x)+ f(x-1)-f(x +1)> -4a.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, рассмотрим квадратный трехчлен f(x) без корней:

f(x) = ax^2 + bx + c

Так как у нас трехчлен без корней, то дискриминант должен быть меньше нуля:

D = b^2 - 4ac < 0

Так как a > 0, D < 0 означает, что у нас нет корней у уравнения f(x) = 0.

Теперь найдем значение f(x) + f(x-1) - f(x+1):

f(x) + f(x-1) - f(x+1) = (ax^2 + bx + c) + (a(x-1)^2 + b(x-1) + c) - (a(x+1)^2 + b(x+1) + c)
= ax^2 + bx + c + a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c - a(x^2 + 2x + 1) - b(x+1) - c
= ax^2 + bx + c + ax^2 - 2ax + a + bx - b + c - ax^2 - 2ax - a - bx - b - c
= 2ax^2 - 2ax + a - 2bx + 2b - 2c

Учитывая условие D < 0, можем переписать это выражение как:

2ax^2 - 2ax + a - 2bx + 2b - 2c = 2a(x^2 - x) - 2b(x - 1) + a + 2b - 2c < 0

Так как a > 0, то мы можем поделить обе части неравенства на a:

2(x^2 - x) - 2b/a(x - 1) + 1 + 2b/a - 2c/a < 0

2(x^2 - x) - 2b/a(x - 1) + 1 + 2b/a - 2c/a = 2(x^2 - x + 1) - 2b/a(x - 1) - 2c/a

Теперь заметим, что коэффициент при x^2 равен 2a > 0, что означает, что у исходного трехчлена квадратного трехчлена положительный коэффициент. Таким образом, нам действительно удалось доказать, что при любых значениях x неравенство f(x) + f(x-1) - f(x+1) > -4a выполняется.