«Векторы» «Прямая линия на плоскости» Даны 4 точки А, В, С, D. Найти: а) скалярное произведение 2AB и 3ВС - 4АD; б( угол между DC и САДоказать, что векторы е¹, е², е³ образуют базис и найти координаты вектора "a" в этом базисе.Даны вершины треугольника А, В, С. Написать уравнение сторон, медиан, высот, найти их длиныи углы треугольника
1) А(5, 0, 1), В(2, -1, 4), С(-1, 3, 4), D(0, -1, 2)
2) e¹{1, -1, 1}, e²{0, 1, 2}, e³{1, 0, 2}, a{0, 1, 1}
3) A(4, 0), B(-1, 2), C(2, 4).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1)
а) 2AB = 2(2-5, -1-0, 4-1) = (-6, -2, 6)
3ВС = 3(-1+1, 3-2, 4-4) = (0, 3, 0)
4AD = 4(0-5, -1-0, 2-1) = (-20, -4, 4)

Скалярное произведение 2AB и 3ВС - 4AD:
(-6, -2, 6) (0, 3, 0) - (-20, -4, 4) = -60 + (-2)3 + 60 - (-20)0 - (-4)3 - 4*0 = -6

б) Найдем сначала вектора DC и CA:
DC = C - D = (-1, 3, 4) - (0, -1, 2) = (-1, 4, 2)
CA = A - C = (5, 0, 1) - (-1, 3, 4) = (5+1, 0-3, 1-4) = (6, -3, -3)

cos(угол между DC и CA) = (DC CA) / (|DC| |CA|) = (-16 + 4(-3) +2(-3)) / (sqrt((-1)^2+4^2+2^2) sqrt(6^2+(-3)^2+(-3)^2))
= (-6 - 12 - 6) / (sqrt(1+16+4) sqrt(36+9+9))
= -24 / (sqrt(21) sqrt(54))
= -24 / (4.58 * 7.35)
≈ -24 / 33.71
≈ -0.71

Угол между DC и CA примерно равен 135 градусам.

2)
Если векторы e¹, e², e³ образуют базис, то они линейно независимы и способны породить любой вектор данного пространства. Проверим линейную независимость:
Предположим, что существуют такие коэффициенты x₁, x₂, x₃, что x₁e¹ + x₂e² + x₃e³ = 0. Тогда (x₁, -x₁ + x₂, x₁ + 2x₂ + 2x₃) = (0, 0, 0).

Следовательно, x₁ = x₂ = x₃ = 0, что и означает линейную независимость. Также, так как базис образован из трех векторов, размерность пространства равна трем.

Теперь найдем координаты вектора "a" в этом базисе:
a = x₁e¹ + x₂e² + x₃e³
(0, 1, 1) = x₁(1, -1, 1) + x₂(0, 1, 2) + x₃(1, 0, 2)
Составим систему уравнений и решим ее.

3)
Уравнение сторон треугольника ABC:
AB: 2x - y - 7 = 0
BC: 2x + y - 6 = 0
AC: -2y - x + 4 = 0

Уравнения медиан пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1.

Уравнения высот, исходя из вершин:
HA: x + 2y - 8 = 0
HB: x - 3y + 5 = 0
HC: -5x + 6y - 22 = 0

Длины сторон:
AB = sqrt(18)
BC = sqrt(6)
AC = sqrt(45)

Углы треугольника можно найти с помощью теоремы косинусов.