Доказать, что два любых многочлена разной степени никогда не равны для всех x принадл. R

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения рассмотрим два многочлена f(x) и g(x) разной степени n и m соответственно, где n не равно m.

Предположим, что для любого x из множества действительных чисел R многочлены f(x) и g(x) равны, т.е. f(x) = g(x) для всех x из R.

Так как f(x) и g(x) равны для любого x из R, то они равны и в точках x_1, x_2, ..., x_n, где x_1, x_2, ..., x_n - корни многочлена f(x).

Так как f(x) = g(x) для всех x из R, то и в точках x_1, x_2, ..., x_n многочлены f(x) и g(x) равны, т.е. f(x_i) = g(x_i) для i = 1, 2, ..., n.

Так как f(x) = g(x) для всех x из R, то f(x_i) = g(x_i) для i = 1, 2, ..., n, т.е. многочлены f(x) и g(x) равны в n различных точках.

Однако многочлены f(x) и g(x) разной степени n и m не могут быть равны в n различных точках, так как если два многочлена равны в n различных точках, то это означает, что они равны в бесконечном количестве точек, а значит должны иметь одинаковую степень.

Следовательно, два любых многочлена разной степени никогда не равны для всех x из множества действительных чисел R.