Докажите теорему о разложении многочлена, включая то, почему старший коэффициент выносится за скобки.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан многочлен $P(x) = anx^n + a{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$.

Теорема о разложении многочлена гласит, что любой многочлен $P(x)$ степени $n$ можно представить в виде произведения $(x - x_1)(x - x_2) \ldots (x - x_n)$, где $x_1, x_2, \ldots, x_n$ - его корни. Тогда раскрыв скобки и учитывая старший коэффициент, мы можем записать многочлен $P(x)$ как $a_n(x - x_1)(x - x_2) \ldots (x - x_n)$.

Теперь докажем, почему старший коэффициент $a_n$ выносится за скобки в данном разложении. Рассмотрим представление многочлена $P(x)$ через его корни: $P(x) = a_n(x - x_1)(x - x_2) \ldots (x - x_n)$.

Рассмотрим старший член многочлена на правой стороне равенства. Он будет равен $a_nx^n$, так как он получится из перемножения самого большого степенного члена в каждом из скобок. Из этого следует, что старший коэффициент многочлена на правой стороне равен $a_n$.

Таким образом, мы доказали, что старший коэффициент $a_n$ выносится за скобки в разложении многочлена.