Задача по планиметрии №7 В равнобокой трапеции средняя линия равна 5см, а большее основание на 16см меньше его периметра. Найдите периметр трапеции, если её диагональ делит тупой угол пополам.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим периметр трапеции через P, большее основание через a, а меньшее через b.

Так как средняя линия равна полусумме оснований, то: a + b = 2 * 5см = 10см

Также, из условия задачи, известно, что a = P - 16см

Теперь составим уравнение для диагонали трапеции. По теореме Пифагора: d^2 = h^2 + ((a - b) / 2)^2, где d - диагональ трапеции, h - радиус описанной окружности, вписанной в трапецию. Так как диагональ делит тупой угол на две равные части, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю и радиусом описанной окружности:

d = 2h

Подставим выражения для d и h:

(2h)^2 = h^2 + ((a - b) / 2)^2
4h^2 = h^2 + ((a - b) / 2)^2
3h^2 = ((a - b) / 2)^2
3h = (a - b) / 2

Теперь преобразуем это уравнение к виду a и b:

a = b + 10
3h = (2b + 10) / 2
6h = 2b + 10
6h - 10 = 2b
b = (6h - 10) / 2

Так как большее основание равно a = P - 16, то P = a + b + 2h = (6h - 10) / 2 + (6h - 10) / 2 + 2h = 6h - 10 + 6h - 10 + 2h = 14h - 20

Таким образом, периметр трапеции равен 14h - 20.