Задача по планиметрии №6 Равнобедренная трапеция описана около окружности. Площади круга и трапеции равны соответственно (7/4)π и 4√7. Найти боковую сторону трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим основания трапеции как a и b, боковую сторону как c, радиус окружности как R.

Так как трапеция описана около окружности, то диагональ трапеции является диаметром этой окружности.

Таким образом, диагональ трапеции равна 2R.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю и боковой стороной трапеции, имеем:
c^2 + (a - b)^2 = (2R)^2.

Площадь трапеции равна:
S = (a + b) * h / 2,
где h - высота трапеции.

Так как трапеция равнобедренная, то h = √(R^2 - (c/2)^2).

Из условия задачи имеем:
S = 4√7,
πR^2 = 7/4.

Из уравнения для площади трапеции найдем h:
4√7 = (a + b) * √(R^2 - (c/2)^2) / 2,
√(R^2 - (c/2)^2) = 8√7 / (a + b).

Подставим значение R из уравнения для площади круга:
√(49/16 - c^2/4) = 8 / (a + b),
√(49 - 4c^2) = 128 / (a + b),
49 - 4c^2 = 16384 / (a + b)^2.

Из уравенения Пифагора:
c^2 + (a - b)^2 = 196,
c^2 = 196 - (a - b)^2.

Подставим выражение для c^2 в последнее уравнение:
196 - (a - b)^2 + (a - b)^2 = 196,
a = b.

Таким образом, дополнительное уравнение для a и b необходимо для определения боковой стороны трапеции.