Докажите какую-то странную хрень Докажите, что 7^(n+2)-5^(n+2)+5^n+7^n нацело делится на 50

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы доказать, что данное выражение нацело делится на 50, нужно доказать, что оно делится на 2 и на 25.

Докажем, что выражение делится на 2
При n=1: 7^(1+2)-5^(1+2)+5^1+7^1 = 343-125+5+7 = 230, что делится на 2
При n=2: 7^(2+2)-5^(2+2)+5^2+7^2 = 2401-625+25+49 = 1850, что делится на 2.

Таким образом, видим, что выражение делится на 2.

Докажем, что выражение делится на 25
По теореме Эйлера (показательная теорема) для a взаимно простого с 25 (и 2, в данном случае), выполняется a^20 = 1 (mod 25)
Таким образом, можно рассмотреть остатки от деления на 20
7^2 = 49 = -1 (mod 25
5^2 = 25 = 0 (mod 25)

Исходя из этого, видим, что 7^(n+2)-5^(n+2) = (-1)^n (mod 25)

Из этого следует, что 7^(n+2)-5^(n+2)+5^n+7^n = (-1)^n + 5^n + 7^n = (1+5)^n + 7^n = 6^n + 7^n

Теперь докажем, что 6^n + 7^n делится на 25
При n=1: 6^1 + 7^1 = 13, что делится на 25
При n=2: 6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85, что делится на 25.

Таким образом, выражение также делится на 25.

Итак, мы доказали, что выражение 7^(n+2)-5^(n+2)+5^n+7^n делится на 2 и на 25, следовательно, оно делится на 50.