В правильной треугольной пирамиде
боковая грань образует с плоскостью
основания угол α. В правильной треугольной пирамиде
боковая грань образует с плоскостью
основания угол α. Найдите объём
пирамиды, если радиус окружности,
описанной около её основания, равен R

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим плоскость основания пирамиды и одну из её боковых граней. Так как пирамида правильная, то угол между этой боковой гранью и плоскостью основания равен α.

Проведем высоту пирамиды h, которая тоже является радиусом описанной окружности. Тогда мы можем разложить высоту на две составляющие: одна проекция высоты на основание (то есть радиус окружности R), другая - высота пирамиды на высоту боковой грани.

Таким образом, получаем два прямоугольных треугольника: один с катетами R и Rcos(α), другой с катетами h и Rsin(α).

Из первого треугольника
(R*cos(α))^2 + R^2 = h^2

Из второго треугольника
h^2 + (R*sin(α))^2 = L^2

где L - высота боковой грани пирамиды.

Используя теорему Пифагора, находим высоту боковой грани пирамиды L
L^2 = h^2 + (Rsin(α))^2 = h^2 + R^2sin^2(α) = (Rsin(α))^2 + R^2 = R^2(sin^2(α) + 1) = R^2

То есть, L = R

Теперь можем найти объем пирамиды. Обозначим S - площадь основания пирамиды. Тогда объем V можно найти по формуле
V = (1/3)S
V = (1/3)R^2
V = R^3/3

Ответ: объем пирамиды равен R^3/3.