Геометрия. Задача на отношение. В треугольнике ABC на лучах AB, BC, CA , выбраны соответственно точки
K,L,M , так, что AK : AB 3 : 2, BL : BC 4 : 3 , CM : СA 5 : 4 . Найдите площадь
треугольника с вершинами K,L,M если площадь треугольника ABC равна 60.
Задача без рисунка. Заранее спасибо.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны треугольника ABC через a, b, c, а высоты из вершин A, B, C на стороны треугольника через ha, hb, hc. Используя соотношения между сторонами и высотами треугольника, получаем:
ha = 2/3 hA,
hb = 3/7 hB,
hc = 4/9 * hC.

Также из подобия треугольников ABC и KLM следует, что
SK = 2/3 b,
SL = 3/7 c,
SM = 4/9 * a.

Теперь найдем площадь треугольника KLM. По формуле площади треугольника через стороны и высоту получаем:
S(KLM) = 1/2 SK SL sin(K).
Так как sin(K) = hK / a, где hK - высота из вершины K на сторону a, то
S(KLM) = 1/2 SK SL hK / a.

Теперь подставим значения SK, SL и hK в формулу и получим:
S(KLM) = 1/2 (2/3 b) (3/7 c) (3/5 ha) / a = 1/2 2/3 3/7 3/5 (b c ha) / a = 9/35 S(ABC) = 9/35 60 = 18.

Ответ: S(KLM) = 18.