В треугольнике ABC CD медиана, причем CD^2> 1/4 AB^2. Докажите что угол C острый

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи мы знаем, что CD - медиана треугольника ABC, поэтому BD = AD. Также, из неравенства CD^2 > 1/4AB^2, получаем, что CD > 1/2AB.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. По неравенству треугольника BD>CD-BD. Так как BD=AD, то CD>BD.

Заметим, что BD - сторона треугольника BCD, а CD - медиана, и по свойству медианы мы знаем, что медиана больше любой из сторон, и, следовательно, BD<CD.

Итак, мы выяснили, что BD > CD и BD < CD, что возможно только если угол CBD острый, то есть угол C острый.