Нужна помощь с олимпиадой, очень важно! Дан квадрат PQRS. На отрезке RS отметили точку X, а на продолжении луча SP за точку P — точку Y. Оказалось, что угол XQY прямой. Также известно, что SY=20, RX=6. Чему равна длина отрезка SX?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи обратим внимание на треугольники RSY и XQY.

Из условия, угол RSY прямой, т.е. треугольник RSY - прямоугольный. Из этого следует, что по теореме Пифагора:
SY^2 = RS^2 + RY^2
20^2 = RX^2 + RY^2
400 = 6^2 + RY^2
400 = 36 + RY^2
RY^2 = 364
RY = √364 = 2√91

Также, по теореме Пифагора для треугольника XQY:
QY^2 = XQ^2 + RY^2
QY^2 = SQ^2 + SY^2 + RY^2
QY^2 = (SQ + SY)^2 + RY^2
QY^2 = (SQ + 20)^2 + 364
QY^2 = SQ^2 + 40SQ + 400 + 364
QY^2 = SQ^2 + 40SQ + 764

Кроме того, так как треугольники XQY и RSY подобны (так как у них есть общий угол, и поэтому соответстующие углы равны), то:
QY/SY = RY/RS
QY/20 = 2√91/6
QY = 20 * (2√91/6) = 10√91

Теперь мы можем найти QY:
QY^2 = SQ^2 + 40SQ + 764
100 * 91 = SQ^2 + 40SQ + 764
9100 = SQ^2 + 40SQ + 764
SQ^2 + 40SQ - 8336 = 0

Решив это уравнение или применив метод подбора, мы получаем, что SQ = 26 или SQ = -66. Так как длины сторон должны быть положительными, то SQ = 26.

Таким образом, длина отрезка SX равна 26 - 6 = 20.