Есть ли бесконечное множество натуральных
чисел n, являющихся полными квадратами, что число 2n+1 тоже полный квадрат Верно ли, что существует бесконечное множество таких натуральных чисел n, являющихся полными квадратами, что число 2n + 1 также является полным квадратом?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Действительно, такое бесконечное множество натуральных чисел n существует.
Предположим, что n = k^2, где k - натуральное число. Тогда 2n + 1 = 2k^2 + 1 = m^2 для некоторого натурального числа m.
Раскрывая скобки в квадрате m, получаем 2k^2 + 1 = m^2 => 2k^2 = m^2 - 1 = (m + 1)(m - 1).
Таким образом, должно существовать такое натуральное число x, что m + 1 = 2x и m - 1 = x.
Отсюда получаем, что m = 2x - 1, а значит 2k^2 = (2x - 1)(2x + 1) = 4x^2 - 1, что можно переписать как 2k^2 = (2x)^2 - 1.
Таким образом, если n = k^2, где k - натуральное число, то 2n + 1 = (2k)^2, где 2k - натуральное число. Поэтому существует бесконечное множество таких натуральных чисел n, являющихся полными квадратами, что число 2n + 1 также является полным квадратом.