Уравнения прямой и плоскости в пространстве 1.Даны координаты точек A(3,−1,−5),B(4,−3,7),C(-7, 10, 3), S(19, - 12, 13) вершин пирамиды SABC. Найдите: а) длины ребер AB, AC, AS и угол между ребрами АВ и АС; б) длину проекции ребра АВ на ребро AS; в) площадь грани АВС; г) длину высоты, опущенной из вершины С на ребро АВ. 2.Для числовых значений предыдущей задачи предлагается: а) составить канонические уравнения ребер АВ и АС; б) составить уравнение грани АВС; в) составить каноническое и параметрическое уравнения высоты SН, опущенной из вершины S на грань АВС; г) найти координаты точки Н, точки пересечения высоты SН с гранью АВС; д) найти длину высоты SН, опущенной из вершины S на грань АВС; е) найти объем пирамиды SABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а)
Длина ребра AB:
AB = √((4-3)^2 + (-3-(-1))^2 + (7-(-5))^2) = √(1^2 + (-2)^2 + 12^2) = √(1 + 4 + 144) = √149

Длина ребра AC:
AC = √((-7-3)^2 + (10-(-1))^2 + (3-(-5))^2) = √((-10)^2 + 11^2 + 8^2) = √(100 + 121 + 64) = √285

Длина ребра AS:
AS = √((19-3)^2 + (-12-(-1))^2 + (13-(-5))^2) = √(16^2 + (-11)^2 + 18^2) = √(256 + 121 + 324) = √701

Угол между ребрами AB и AC:
cos(∠BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 AB AC)
cos(∠BAC) = (149 + 285 - 701) / (2 √149 √285)
cos(∠BAC) = 233 / (2 √149 √285)
∠BAC = arccos(233 / (2 √149 √285))

б)
Длина проекции ребра AB на ребро AS:
Для этого надо найти проекцию вектора AB на вектор AS:
proj_AS AB = ((AB • AS) / AS^2) * AS
где AB • AS - скалярное произведение векторов AB и AS
AS^2 - квадрат длины вектора AS

в)
Площадь грани ABV:
ΔABV = 0.5 * |AB x AC|
где AB x AC - векторное произведение векторов AB и AC

г)
Длина высоты, опущенной из вершины C на ребро AB:
Для этого можно воспользоваться формулой для высоты пирамиды: h_C = (ΔABV * 3) / AB

а)
Каноническое уравнение прямой АВ:
(x-3)/1 = (y-(-1))/(-2) = (z-(-5))/12

Каноническое уравнение прямой AC:
(x-3)/(-10) = (y-(-1))/11 = (z-(-5))/8

б)
Уравнение плоскости ABV:
A(x-3) + B(y-(-1)) + C*(z-(-5)) = 0
где (A, B, C) - координаты вектора, полученного векторным произведением AB и AC

в)
Уравнение прямой высоты SN:
(x-19)/16 = (y-(-12))/(-11) = (z-13)/18

г)
Точка Н - точка пересечения прямой SN со стороной ABV. Для ее нахождения решим систему уравнений прямой SN и плоскости ABV.

д)
Длина высоты SN:
Для этого можно воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости.

е)
Объем пирамиды SABC:
V = (1/3) ΔABV h_C