Задание по геометрии (описанная окружность) Окружность с центром O описана около правильного треугольника ABC . Расстояние от точки O до стороны треугольника равно 2 . Найди площадь треугольника ABC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Известно, что центр описанной окружности треугольника является пересечением перпендикуляров, проведённых к сторонам треугольника из их середин.

Пусть точка M - середина стороны AB, N - середина стороны BC, K - середина стороны AC.
Тогда OM = ON = OK = 2.

Так как треугольник ABC правильный, то середины сторон равны. Значит, треугольник MON равносторонний со сторонами 2.

Найдём площадь равностороннего треугольника MON:
S = (a^2 * √3) / 4,
где a - длина стороны треугольника.

Так как a = 2, то площадь треугольника MON:
S = (2^2 √3) / 4 = (4 √3) / 4 = √3.

Но площадь треугольника ABC равна величине в два раза большей, чем площадь треугольника MON, так как любой треугольник можно разделить на 4 равных треугольника. Значит, площадь треугольника ABC равна 2√3.