Задача по геометрии Окружность с центром O описана около правильного треугольника ABC . Расстояние от точки O до стороны треугольника равно 2 . Найди площадь треугольника ABC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен R. Так как центр окружности O равноудален от всех вершин треугольника, то он является центром описанной окружности, а значит, мы можем провести перпендикуляры из центра O к сторонам треугольника, которые будут проходить через середины сторон треугольника.

Полученные три перпендикуляра будут равны 2 (так как это расстояние от центра окружности до стороны треугольника). Обозначим их за h.

Теперь заметим, что треугольник OAB является равнобедренным, так как OA = OB (радиусы окружности равны) и угол AOB = 120 градусов (так как треугольник ABC - правильный). Значит, угол OAB равен углу OBA, а значит, треугольник OAB - равнобедренный. То же самое можно сказать про треугольники OAC и OBC.

Теперь мы можем разделить треугольник ABC на три равнобедренных треугольника с высотой, равной 2.

Так как боковые стороны равнобедренного треугольника равны равны, то мы можем разделить их пополам, получив два прямоугольных треугольника, каждый с катетами 2 и гипотенузой R.

По теореме Пифагора, R = √(2^2 + 2^2) = √8 = 2√2.

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Так как его высота равна 2, а основание 2√2, то S = (2√2 * 2) / 2 = 2√2.

Итак, площадь треугольника ABC равна 2√2.