Задача по теме «перпендикулярность прямых» Через точку M – середину стороны AB равностороннего треугольника ABC проведена прямая MH, перпендикулярная плоскости этого треугольника. Докажите перпендикулярность прямых AB и HC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства перпендикулярности прямых AB и HC воспользуемся свойством, что в равностороннем треугольнике высота, проведенная из вершины, делит основание пополам.

Поскольку точка M – середина стороны AB, то AM = MB. Также, по условию, прямая MH перпендикулярна плоскости треугольника, следовательно, угол AMH прямой. Таким образом, треугольник AMH является прямоугольным с прямым углом при вершине M.

Теперь обратим внимание на треугольник CHB. Так как точка M является серединой стороны AB, то согласно свойству высоты в равнобедренном треугольнике, высота HN, проведенная из вершины C, делит сторону AB пополам, т.е. AH = HM = MB. Также, по условию, угол MHC прямой.

Таким образом, мы видим, что в треугольнике CHB сторона HC равна стороне AB, а угол MHC прямой. Следовательно, треугольник CHB также является прямоугольным с прямым углом при вершине H.

Из этого следует, что прямая HC перпендикулярна к прямой AB.