Алгебра, формула муавра. Нахождение cos 3x Используя формулу Муавра, выразить cos3x через cos x и sin x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Формула Муавра:

(cosx + isinx)^n = cos(nx) + isin(nx)

где n - натуральное число

Для нахождения cos 3x через cos x и sin x используем формулу Муавра для n = 3:

(cosx + isinx)^3 = cos(3x) + isin(3x)

(cosx + isinx)^3 = cos^3x + 3cos^2x(isinx) + 3cosx(isinx)^2 + (isinx)^3

(cosx + isinx)^3 = cos^3x + 3cos^2xsinx + 3cosx(sin^2x)i - sin^3x

Сравниваем действительные и мнимые части:

cos(3x) = cos^3x - 3cosxsin^2x

Таким образом, cos 3x выражается через cos x и sin x следующим образом:

cos 3x = cos^3x - 3cosxsin^2x