На прямой через равные промежутки стоят точки A, B, C, D, E в указанном порядке. Построены одинаковые правильные треугольники ABK, BCL, CDM, DEN, причем точки K, L, M, N находятся по одну сторону от прямой AE. Площадь каждого треугольника равна 12. Прямая AN отсекает от них три треугольника с вершинами K, L, M. Найдите сумму их площадей.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь каждого треугольника равна 12, значит сторона каждого треугольника равна 4 (так как S = (a^2 * √3) / 4). Треугольники ABK, BCL, CDM, DEN образуют многоугольник, площадь которого можно найти, разбив его на треугольники ABC, ACD, ADE.

Так как ABC – равносторонний треугольник со стороной 4, то его площадь равна 4√3. Аналогично, площадь треугольников ACD и ADE равна по 12√3. Таким образом, площадь многоугольника ABCDE равна 28√3.

Теперь нам нужно найти площадь четырех треугольников KT, LT, MT – треугольников, которые образованы прямой AN и точками K, L, M, которые находятся по одну сторону от прямой AE. Эти треугольники также равносторонние с площадью 12 каждый, что значит, что их сторона равна 4 и они образуют равносторонний четырехугольник. Таким образом, их площадь равна 16√3.

Сумма площадей треугольников KLM равна 28√3 - 16√3 = 12√3.