Вычислить объем конуса Вычислите объем конуса, если сумма длин образующей и высоты конуса равны 6 см. А угол при вершине осевого сечения равен 120 градусов. С решением если не трудно, спасибо

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину образующей как l, высоту конуса как h, радиус основания конуса как r.

Так как сумма длины образующей и высоты конуса равна 6 см, то:
l + h = 6

Угол при вершине осевого сечения равен 120 градусов, поэтому угол при вершине конуса равен 60 градусов.

Теперь найдем радиус основания конуса через длину образующей и угол конуса:
r = l * sin(60°)

Так как объем конуса вычисляется по формуле V = (1/3) π r^2 h, подставим найденные значения:
V = (1/3) π (l sin(60°))^2 h
V = (1/3) π (l^2 sin^2(60°)) * h

Так как sin(60°) = √3 / 2, то sin^2(60°) = 3 / 4. Подставим это значение:
V = (1/3) π (l^2 3/4) h
V = (1/4) π l^2 * h

Теперь подставим выражение l + h = 6:
V = (1/4) π (6 - h)^2 * h

Нам нужно найти максимальное значение объема конуса, для этого возьмем производную и приравняем к нулю:
dV/dh = (1/4) π 2(6 - h) (-1) h + (1/4) π (6 - h)^2
dV/dh = (1/2) π h^2 - 3πh + 9π

Теперь приравняем производную к нулю:
(1/2) π h^2 - 3πh + 9π = 0

Решив это уравнение, получим значение высоты конуса h. Подставив найденное значение h в формулу для объема конуса, получим ответ.