Задача по стереометрии Дан правильный тетраэдр ABCD. Точки K, M и N — середины рёбер BD, AB и AC соответственно. Найдите угол между прямой BD и плоскостью KMN.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем векторы, которые задают прямую BD и плоскость KMN.

Вектор, задающий прямую BD:
\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})

Вектор нормали к плоскости KMN:
\overrightarrow{NK} \times \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{MK} - \overrightarrow{NK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})

Теперь найдем угол между векторами \overrightarrow{BD} и (\overrightarrow{NK} \times \overrightarrow{NM}):
\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot (\overrightarrow{NK} \times \overrightarrow{NM})}{|\overrightarrow{BD}||(\overrightarrow{NK} \times \overrightarrow{NM})|}

Подставляем найденные векторы и вычисляем угол.