Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 медиане этого треугольника? Почему это работает?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, это работает.

Пусть ABC - правильный треугольник, а O - центр вписанной в него окружности. Пусть D - середина стороны AB (то есть медиана).

Так как треугольник ABC - правильный, то все его стороны равны, давайте обозначим их длину за a.

Также, так как O - центр вписанной окружности, то OD - радиус этой окружности. Так как AD - медиана, то AD = 1/2 * a.

Теперь мы знаем, что по условию радиус вписанной в треугольник окружности равен 1/3 медиане, то есть OD = 1/3 * AD.

Таким образом, OD = 1/3 1/2 a = 1/6 * a.

Также из свойств правильного треугольника известно, что медиана AD делит сторону AB пополам, то есть AD = BD.

Таким образом, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ADO получаем:

OD^2 + AD^2 = AO^2

(1/6 a)^2 + (1/2 a)^2 = AO^2

1/36 a^2 + 1/4 a^2 = AO^2

5/36 * a^2 = AO^2

AO = a * sqrt(5) / 6

Отсюда видно, что радиус вписанной окружности равен 1/3 медиане треугольника AD, т.е. радиус вписанной окружности равен 1/3 медиане треугольника.