Найди площадь фигуры, ограниченной параболами y=x^2и y=(x-6)^2 и осью Ox .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя параболами и осью OX, нужно вычислить интеграл от разности уравнений парабол.

Итак, площадь будет равна интегралу от (y2 - y1)dx, где y2 = (x-6)^2 и y1 = x^2.

Подставляем y2 и y1 в интеграл:

∫[(x-6)^2 - x^2]dx = ∫[x^2 - 12x +36 - x^2]dx = ∫(-12x + 36)dx

Вычисляем интеграл:

=(1/2)*(-12x^2) + 36x + C = -6x^2 + 36x + C

Теперь нужно найти границы интегрирования. Эти точки где y = x^2 и y = (x-6)^2 пересекаются. Решим уравнение x^2 = (x-6)^2:

x^2 = x^2 - 12x + 36
0 = -12x + 36
x = 3

То есть, точка пересечения находится при x = 3.

Теперь, чтобы найти итоговую площадь, подставим верхний и нижний пределы интегрирования в формулу интеграла и вычислим:

S = ∫[3,0](-12x + 36)dx
= [-6x^2 + 36x] from 0 to 3
= [-63^2 + 363] - [-60^2 + 360]
= [-6*9 + 108] - [0]
= (-54 + 108)
= 54

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболами y=x^2 и y=(x-6)^2 и осью OX, равна 54 квадратных единицам.