Найди площадь фигуры, ограниченной прямыми x=1 , x=3 , y=4 и графиком функции f(x)=3x^2-7x+9.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения графика функции f(x) с прямыми x=1 и x=3:

Подставим x=1 в уравнение функции f(x):
f(1) = 31^2 - 71 + 9 = 3 - 7 + 9 = 5

Таким образом, точка пересечения с прямой x=1 имеет координаты (1,5).

Подставим x=3 в уравнение функции f(x):
f(3) = 33^2 - 73 + 9 = 27 - 21 + 9 = 15

Таким образом, точка пересечения с прямой x=3 имеет координаты (3,15).

Теперь нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной прямыми x=1, x=3, y=4 и графиком функции f(x).

Построим график функции f(x)=3x^2-7x+9:

\includegraphics[scale=0.5]{graph}

Площадь фигуры можно найти как разность площади прямоугольника со сторонами 2 (ширина между x=1 и x=3) и 4 (высота между y=0 и y=4), и площади фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и осями x и y (ограничена снизу прямой y=4, справа прямой x=3, слева прямой x=1 и сверху графиком функции f(x)).

Площадь прямоугольника: 2*4 = 8

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x), осями x и y, и прямыми x=1 и x=3. Для этого найдем определенный интеграл функции f(x) на интервалах [1,3]:
∫[1,3] (3x^2 - 7x + 9) dx = [x^3 - 3.5x^2 + 9x] [1,3] = (27 - 31.5 + 27) - (1 - 3.5 + 9) = 22.5

Итак, площадь фигуры, ограниченной прямыми x=1, x=3, y=4 и графиком функции f(x), равна 22.5 - 8 = 14.5.

Таким образом, площадь этой фигуры равна 14.5.