Задача по геометрии Даны натуральные числа a,b и c. ни одно из них не кратно другому. известно , что число abc+1 делится на ab-b+1 докажите , что c больше или равно b.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это от противного.

Предположим, что c < b. Тогда найдется такое натуральное число k, что b = c + k.

Тогда abc + 1 = a(c+k)c + 1 = (ac + ak)c + 1 = ac^2 + akc + 1.

Так как ab - b + 1 = (c + k)c - c + 1 = c^2 + kc - c + 1, то abc + 1 делится на ab - b + 1, если (ac^2 + akc + 1) делится на (c^2 + kc - c + 1).

Так как числа a, b и c не кратны друг другу, можно заметить, что a и k должны быть кратны c, чтобы (ac^2 + akc + 1) делилось на (c^2 + kc - c + 1). Поэтому существует такое натуральное число l, что a = lc и k = mc.

Тогда (ac^2 + akc + 1) = (lс^2 + lmc^2 + 1) = c(l + lm)c + 1.

Так как (c^2 + kc - c + 1) = (c^2 + mc^2c - c + 1) = c(1 + m + c)c, то abc + 1 делится на ab - b + 1 при любых натуральных l и m. Противоречие.

Следовательно, мы неверно предположили, что c < b, значит c >= b.