Разборки с алгеброй 1. Найти стационарные точки функции:

f(x) = х3 – х2 – х + 1.

2. Найти экстремумы функции:

а) f(x) = х3 – 3х2 + 32х + 2; б) f(x) = х2 • e2 .

3. Найти интервалы возрастания и убывания функции:

f(x) = х4 – 4х3 + 20 .

4. Построить график функции:

f(x)=x+ 9/x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения стационарных точек функции f(x) = x^3 – x^2 – x + 1 необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю:

f'(x) = 3x^2 - 2x - 1
3x^2 - 2x - 1 = 0

Решаем квадратное уравнение:
D = (-2)^2 - 43(-1) = 4 + 12 = 16
x1 = (2 + √16) / 6 = (2 + 4) / 6 = 6 / 6 = 1
x2 = (2 - √16) / 6 = (2 - 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3

Таким образом стационарные точки функции f(x) = x^3 – x^2 – x + 1: x = 1 и x = -1/3.

а) Для нахождения экстремумов функции f(x) = x^3 – 3x^2 + 32x + 2 найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

f'(x) = 3x^2 - 6x + 32
3x^2 - 6x + 32 = 0

Дискриминант D < 0, что значит, что у функции нет экстремумов.

б) Для функции f(x) = x^2 * e^2 нет экстремумов, так как у данной функции не существует стационарных точек.

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции f(x) = x^4 – 4x^3 + 20 найдем производную функции и проанализируем ее знаки:

f'(x) = 4x^3 - 12x^2
4x^2(x - 3) = 0

Точки перегиба: x = 0, x = 3

Получаем таблицу знаков производной:
(-∞, 0): f'(x) < 0, функция убывает
(0, 3): f'(x) > 0, функция возрастает
(3, +∞): f'(x) < 0, функция убывает

Итак, функция возрастает на интервале (0, 3) и убывает на интервалах (-∞, 0) и (3, +∞).

График функции f(x) = x + 9/x будет иметь асимптоту y = x при x -> ±∞. Также можно заметить, что функция убывает при x < 0 и возрастает при x > 0. Для построения графика можно также вычислить значения функции для нескольких точек.