Контрольная работа по теме «Применение производной.» 1. Найти стационарные точки функции:

f(x) = х3 – х2 – х + 1.

2. Найти экстремумы функции:

а) f(x) = х3 – 3х2 + 32х + 2; б) f(x) = х2 • e2 .

3. Найти интервалы возрастания и убывания функции:

f(x) = х4 – 4х3 + 20 .

4. Построить график функции:

f(x)=x+ 9/x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение:

Найдем стационарные точки функции f(x) = x^3 – x^2 – x + 1:

f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 = 0
Для нахождения стационарных точек решим уравнение 3x^2 - 2x - 1 = 0:

D = (-2)^2 - 43(-1) = 4 + 12 = 16
x1,2 = (2 ± √16)/6 = (2 ± 4)/6
x1 = 1, x2 = -1/3

Таким образом, стационарные точки функции f(x) = x^3 – x^2 – x + 1: x1 = 1, x2 = -1/3.

Найдем экстремумы функции:

a) f(x) = x^3 – 3x^2 + 32x + 2:

Найдем производную функции f'(x) = 3x^2 - 6x + 32.

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

3x^2 - 6x + 32 = 0
D = (-6)^2 - 4332 = 36 - 384 = -348, отрицательный - значит, экстремумов нет.

б) f(x) = x^2 • e^2:

f'(x) = 2x • e^x

Точек экстремума нет.

Найдем интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x^4 – 4x^3 + 20:

Для этого нужно найти производную функции f'(x) = 4x^3 - 12x^2.

Приравниваем f'(x) = 0:
4x^3 - 12x^2 = 0
4x^2(x - 3) = 0
x1 = 0, x2 = 3

Теперь составим таблицу знаков для функции f'(x) и найдем интервалы возрастания и убывания:
x | -∞ | 0 | 3 | +∞
f'(x) | - | 0 | + | +

Интервалы возрастания: (-∞, 0) ∪ (3, +∞)
Интервалы убывания: (0, 3)

Построим график функции f(x) = x + 9/x:

Для построения графика нужно учитывать асимптоту, для этого найдем x, при котором функция не определена - это x = 0. Также заметим, что функция не определена для x = 0, поэтому будет вертикальная асимптота. Также при x -> +-∞, функция стремится к нулю.

График будет проходить через точки (1, 10), (-1, -10), (2, 13.5), (-2, -13.5).